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[主观题]

试证明: 设,则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2:,,使得m(G1∩G2)<ε.

试证明:

试证明:  设,则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2:,,使得m(G1∩G2),则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2试证明:  设,则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2:,,使得m(G1∩G2)试证明:  设,则E可测的充分必要条件是:对任给ε>0,存在开集G1,G2:,,使得m(G1∩G2),使得m(G1∩G2)<ε.

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第1题
试证明: 设f(x),g(x)是上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E).

试证明:

设f(x),g(x)是E上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E)

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第2题
试证明: 设是开区间,是可测集,若存在λ>0,使得m(E∩I)>λ|I|,则对n∈N,存在开区间: |I|=n·|J|,m(E∩J)>λ|J|.

试证明:

是开区间,是可测集,若存在λ>0,使得m(E∩I)>λ|I|,则对n∈N,存在开区间

|I|=n·|J|,m(E∩J)>λ|J|.

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第3题
证明:f在可测集E上可测的充分必要条件是对于任意实数α,集合E(f<α)可测
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第4题
试证明: 设f(x)是定义在区间[a,b]上的单调函数,则f(x)是[a,b]上的可测函数.

试证明:

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第5题
试证明: 设A,B,C是Rn中的可测集.若有m(A△B)=0,m(B△C)=0,则m(A△C)=0.

试证明:

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第6题
试证明: 设A,B是R1中的可测集,且m(A)>0,m(B)>0,则A+B中包含一个区间I:m(I)>0.

试证明:

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第7题
试证明: 设Γ={Eα}是R1中某些互不相交的正测集形成的集族,则Γ是可数的.

试证明:

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第8题
设m*(E)<∞,试证明存在Gδ型集H: ,使得对于任一可测集A,都有m*(E∩A)=m(H∩A).

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第9题
设函数f(x)满足f(0)=0.证明f(x)在x=0处可导的充分必要条件是:存在在x=0处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成立f(0)=g(0).

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第10题
设{Ek}是Rn中的可测集列,若,试证明 .

设{Ek}是Rn中的可测集列,若,试证明

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第11题
试证明: 设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测

试证明:

设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.

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