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设η是欧氏空间中一单位向量，定义T(α)=α－2(η，α)η．证明： (1)T是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射； (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为－1)； (3)如果n维欧氏空间中，正交变换T以1作为一个特征值，且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n－1，则T是镜面反射．
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设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1
设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定
证明：τ是V的一个正交变换，且τ2=t，t是单位变换。
线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：
在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换
满足
则称为V的一个准正交变换。试证：
1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
设α，β是欧氏空间两个线性无关的向量，满足以下条件：
证明：α与β的夹角只可能是π/2，2π/3，3π/4或5π/6。
设{α1，α2，…，αn}和{β1，β2，…，βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1，那么τ(α2)，τ(α3)，…，τ(αn)所生成的子空间与β2，β3，…，βn所生成的子空间重合．
设α1，α2，…，αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明：α1，α2，…，αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1，α2，…，αm的格拉姆(Gram)行列式).
设向量组α1=(1，0，0)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，1，1)T。验证：向量组α1，α2，α3与初始单位向量组ε1=(1，0，0)T，ε2=(0，1，0)T，ε3=(0，0，1)T等价。
