设f是可测空间X上的实函数,使对每个有理数r,(x:f(x)≥r}是可测的,证明f是可测的.
设f是可测空间X上的实函数,使对每个有理数r,(x:f(x)≥r}是可测的,证明f是可测的.
设f是可测空间X上的实函数,使对每个有理数r,(x:f(x)≥r}是可测的,证明f是可测的.
设f(x)是以2π为周期的实有限可测函数,若f(x)又有周期1,试证:f(x)几乎处处为常数。这样的函数是否必为常数?
设f(x)是-∞<x<∞上的连续函数。g(x)是a≤x≤b上的可测函数,则f(g(x))是可测函数。
试证明:
设f(x)是定义在区间[a,b]上的单调函数,则f(x)是[a,b]上的可测函数.
试证明:
设f(x),g(x)是E上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E)
设f与g都是可测集E上的可测函数,证明
E(f≥g)={x|f(x)≥g(x),x∈E}
也是可测集。
设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数,这一函数可写成z=x+iy及z的函数
再把z和z看作是相上独立的,证明:
设复变函数f(z) 的实部及虚部分别是u(x,y)及v(x,y),并.它们都有偏导数。求证:对于f(z),柯西黎曼条件可写成
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
设f(x)为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f(x)在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f"(ξ)=0。
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0),证明在(0, 1)内至少存在一点ξ,使f'(ξ)=0.
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f'(x)>0.若极限存在,证明:
(I)在(a,b)内,f(x)>0;
(II)在(a,b)内存在一点ξ,使
(III)在(a,b)内存在与(II)中ξ相异的点η,使