题目内容
(请给出正确答案)
[单选题]
设A为n阶方阵,B=(A,b)为增广矩阵,若非齐次线性方程组Ax=b有唯一解,则下列结论正确的是:()。
A.R(A)=R(B)=n
B.R(A)=R(B)<n
C.R(A)<R(B)
D.R(A)>R(B)
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A.R(A)=R(B)=n
B.R(A)=R(B)<n
C.R(A)<R(B)
D.R(A)>R(B)
证明:设A,B都是n阶正交方阵,则
(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。
(2) A正交方阵,得ATA=E,由AAT=E得AT正交方阵。又A-1=AT, 故A-1正交方阵。A,B是n阶正交矩阵,故A-1=AT,B-1=BT。(AB)T(AB) =BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交方阵。
设a,b是任意整数,A是所有以2阶方阵作为元素的集合,对于矩阵的加法和矩阵的乘法,证明(A,+,×)是环。
(1)设A是n阶方阵,对任意的都有xTAx=0,是否必有A=O,请说明.理由;
(2)若A是n阶实对称矩阵,对任意的都有xTAx=0,是否必有A=O,请说明理由。