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[主观题]
令{α1，α2，···，αn}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，{β1，β2，···，βn}是
由这组向量通过正交化方法所得的正交组。证明，这两个向量组的格拉姆行列式相等，即
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更多“令{α1，α2，···，αn}是欧氏空间V的一组线性无关的向…”相关的问题
设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换
满足
则称为V的一个准正交变换。试证：
1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
欧氏空间V中的线性变换
称为反称的，如果对任意，α，β∈V，
证明：
1)
为反称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反称的;
2)如果V1是反称线性变换的不变子空间，则
也是。
设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令
是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：
这里Wi=W∩V，i=1，2，...，k。
设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α1，···，αs，αs+1，...，αn，使得α1，···，αs是Ker(σ)的一个基。证明：(i)σ(αs+1)，...，σ(αn)组成Im(σ)的一个基；
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
求下列线性变换在所指定基下的矩阵：
1)在P3中，
，
在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)下的矩阵;
2)[O，ε1，ε2]是平面上一直角坐标系，是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，
是平面上的向量对ε2的垂直投影，求
在基ε1，ε2下的矩阵;
3)在空间P[x]n中，设变换为f(x)→f(x+1)-f(x)。求在基
下的矩阵;
4)六个函数
的所有实系数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换
在基εi(i=1，2，...，6)下的矩阵;
5)已知P3中线性变换在基η1=(-1，1，1)，η2=(1，0，-1)，η3=(0，1，1)下的矩阵是
求在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)下的矩阵;
6)在P3中，定义如下：
求在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)下的矩阵;
7)同上，求在η1，η2，η3下的矩阵。
设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵是
。求σ关于基
的矩阵。设ξ=2α1+α2-α3。求σ(ξ)关于基β1，β2，β3的坐标。
设ε1，ε2，ε3，ε4是四维线性空间V的一组基，线性变换
在这组基下的矩阵为
1)求在基
下的矩阵;
2)求的特征值与特征向量;
3)求一可逆矩阵T，使T-1AT成对角形。
令S={a,b},S上有4个二元运算:*,o,·和□,分別由表10.8确定
(1)这4个运算中哪些远算满足交换律,结合律,幂等律
(2)求每个运算的单位元,零元及所有可递元素的逆元
