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[主观题]

证明:(1)若A,B是对称矩阵,则A+B,λA仍是对称矩阵(为常数);(3)若A,B都是对称矩阵,财AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA.

证明:（1)若A,B是对称矩阵,则A+B,λA仍是对称矩阵（为常数);（3)若A,B都是对称矩阵,财AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA.

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第1题

设A为三阶实对称矩阵，A的特征值是1，2，3。若A属于1，2的特征向量分别为α₁=(-1，-1，1)^T，α₂=(1，-2，-1)^T，则A属于特征值3的特征向量为( )。

设A为三阶实对称矩阵，A的特征值是1，2，3。若A属于1，2的特征向量分别为α₁=（-1，-1，1)^T，α₂=（1，-2，-1)^T，则A属于特征值3的特征向量为（)。

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第2题

设A^*为n阶方阵A的伴随矩阵，证明(1)若|A|=0，则|A^*|=0;(2)|A^*|=|A|^n-1。

设A^*为n阶方阵A的伴随矩阵，证明（1)若|A|=0，则|A^*|=0;（2)|A^*|=|A|^n-1。

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第3题

设V是对于非退化对称双线性函数f（α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足则

设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足

则称为V的一个准正交变换。试证：

1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;

2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;

3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;

4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足

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第4题

证明：设A，B皆为nxn实对称矩阵，且互相交换，则它们有公共的特征向量作为欧氏空间Rⁿ的标准正交基。

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第5题

证明：1)如果A可逆对称（反称)，那么A^-1也对称（反称);2)不存在奇数级的可逆反称矩阵。

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第6题

若α₁，···，α_n是Rⁿ的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，证明：Aα₁，Aα₂，···，Aα_n是Rⁿ的一组标准正交基。

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第7题

设二次型记a=（1)证明二元型f对应的矩阵为（2)若α、β正交且均为单位向量，证明二次型/在正交变换

设二次型记a=

(1)证明二元型f对应的矩阵为

(2)若α、β正交且均为单位向量，证明二次型/在正交变换下的标准形为二次型

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第8题

设A为r×r矩阵， B为r×n矩阵，且R（B) =r.证明：（1)如果AB=0，则A=0：（2)如果AB=B，则A=E.

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第9题

设A是实对称矩阵，且|A|≤0，证明：必存在向量x≠0，使

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第10题

设A是秩为的对称矩阵，证明:存在A的r级主子式

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第11题

设A是一个实对称矩阵。如果以A为矩阵的实二次型是正定的，那么就说A是正定的。证明对于任意实对称矩阵A，总存在足够大的实数t，使得tI+A是正定的。

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